Х любое число как записать
Перейти к содержимому

Х любое число как записать

  • автор:

Числовые неравенства

Неравенства — это важная и обширная тема школьной математики. С неравенствами вы будете сталкиваться каждый год, начиная с 7-го класса, и они обязательно будут на всех важных экзаменах.

Что такое неравенства?

Неравенства нужны для того, чтобы сравнивать числа и выражения. Очевидно, что, например, число \(5\) больше, чем число \(3\). Записать это утверждение можно при помощи знака больше — \(«\gt»\): $$5 \gt 3;$$ Широкая часть знака \(«\gt»\) направлена на то число, которое больше, а узкая направлена на меньшее число.

Верно и обратное утверждение — число \(3\) меньше \(5\), математическим языком это записывается при помощи знака меньше — \(«\lt»\): $$3 \lt 5;$$ Таким образом, запись \(x \gt 4\) означает, что вместо переменной \(x\) можно брать любые значения больше \(4\).

Если, например, \(x=3\), то неравенство \(x \gt 4\) перестает быть верным, ведь \(3\) не больше \(4\).

А вот при \(x=100\) неравенство становится верным: \(100 \gt 4.\)

Координатная прямая и числовые промежутки

Неравенство \(x \gt 4\) удобно изобразить графически при помощи координатной прямой. Тут может возникнуть вопрос, а что такое координатная прямая? Это просто линия, на которой расставлены все числа в порядке возрастания:

Числовая прямая

Назовем эту линию «ось \(x\)» или «числовая прямая». Стрелочкой показано направление возрастания чисел: слева направо. На оси \(x\) можно отметить абсолютно любые числа (положительные, отрицательные, рациональные и иррациональные), важно, что они всегда идут по порядку, по возрастанию. Чтобы изобразить на оси \(x\) неравенство \(x \gt 4\), нам надо отметить на ней число \(4\). Сделаем это большой красной точкой.

А теперь самое главное, так как \(x \gt 4\), то нас устраивают любые числа, которые находятся справа от \(4\), ведь все числа, которые больше \(4\) находятся именно справа. Покажем это при помощи штриховки на рис.2:

Открытый числовой луч на числовой прямой

Рис.2. Открытый числовой луч

Аналогичным образом мы можем отмечать на числовой прямой любые неравенства: $$x \lt 68;$$

Открытый числовой луч на координатной прямой

Рис.3. Открытый числовой луч

Открытый числовой луч на координатной прямой

Рис.4. Открытый числовой луч

Даже можно отметить выполнение сразу нескольких условий для переменной \(x\). Представьте, что \(x\) одновременно должна быть больше \(2\) и меньше \(14\). Например, число \(8\) с одной стороны больше \(2\), а с другой меньше \(14\). Математическим языком это можно записать двойным неравенством: $$2 \lt x \lt 14;$$ А на числовой прямой такое двойное условие будет выглядеть так (любые числа между \(2\) и \(14):\)

Интервал на числовой прямой

Рис.5. Итервал

Дробные неравенства тоже можно изобразить на координатной прямой. Например, \(x \lt \frac.\) \(\frac\) на числовой прямой, очевидно, находится между нулем и единицей. Разделим в уме отрезок от \(0\) до \(1\) на три равные части и первая из них будет \(\frac\). А если бы нам нужно было отметить \(\frac\), то мы отсчитали бы две одинаковые части. Графически неравенство \(x \lt \frac\) будет выглядеть так:

Открытый луч на оси х

Рис.6. Открытый числовой луч

Со знаками неравенства и графическим их изображением на числовой прямой разобрались. Но есть еще третий способ записывать неравенства: при помощи знака «принадлежит» \(\in\) и скобок.

Например, неравенство \(x \gt -3\) можно записать в виде луча: \(x \in (-3;+\infty)\).
Знак \(+\infty\) — плюс бесконечность, то есть отсутствие границы справа: любое число большее \(-3\);
А запись \(x \in (-3;+\infty)\) читается как «икс принадлежит от минус трех до плюс бесконечности». Графически это можно изобразить вот так:

Открытый луч на оси х

Рис.7. Открытый числовой луч

Аналогичным образом можно записать неравенство \(x \lt -3\) в виде луча \((-\infty;-3)\). А графически оно будет выглядеть так:

Открытый луч на оси х

Рис.8. Открытый числовой луч

Двойные неравенства записываются при помощи интервалов. Например, двойное неравенство \(-1 \lt x \lt 10\) записывается так: \(x\in (-1;10)\). На числовой прямой оно же будет выглядеть так:

Интервал на оси х

Рис.9. Числовой интервал

Лучом называют неравенство, если одна из границ — бесконечность, а другая — число. Интервалом называют неравенство, если обе границы это числа. Итак, подведем итог. Неравенства можно записывать тремя способами:

  • При помощи знаков неравенства (больше \(x \gt 5\), меньше \(x \lt 5\));
  • Графически на числовой (координатной) прямой;
  • Лучами: \(x \in (5;+\infty)\) и \(x \in (-\infty;5)\). И интервалами: \(x \in (2;3)\)

Важно понимать, что все три способа записывать неравенства фактически обозначают одно и то же. Зачем же тогда так много видов записи одного и того же?

Знаки неравенств и числовую прямую мы будем использовать при решении более сложных неравенств. А при помощи лучей и интервалов принято записывать ответы.

Строгие и нестрогие неравенства

Все неравенства, о которых мы говорили выше, называются «строгими». В чем же их строгость? Когда мы говорим \(x\) больше \(7\), то подразумеваем, что это неравенство будет верным при условии, что \(x\) принимает любые значения строго большие \(7\): \(8,100,100000\) и даже \(7,00001\), все эти числа больше семи. Но \(x=7\) не удовлетворяет этому неравенству. Так как \(7\) не больше \(7.\)

А что, если мы хотим показать, что \(x\) может принимать значения не только большие \(7\), но и равное \(7\)? Для таких случаев придумали знак «больше или равно», обозначается \(x \geq 7\).

Аналогичным образом существует знак «меньше или равно» \(x \leq 1\), который обозначает, что, если вместо \(x\) подставить значения меньшие единицы или равное единице, то неравенство будет верным.

Неравенства со знаками \(\geq\) или \(\leq\) называются «нестрогими». Пример таких нестрогих неравенств: $$x \geq 12;$$ $$x \leq -1;$$ $$x\geq \frac;$$

Часто с нестрогими неравенствами возникает путаница. Скажите, какие из представленных ниже неравенств верные, а какие нет: $$3 \ge 2;$$ $$4 \ge 4;$$ $$5 \gt 5;$$ Первое неравенство будет верным: \(3\) действительно больше \(2.\)
Второе неравенство тоже верное, так как знак неравенства \(«\ge»\) разрешает равенство, а \(4\) равно \(4.\)
А вот третье неравенство неверное, потому что \(5\) не больше \(5,\) а знак неравенства строгий, равенство не допускается.

Нестрогие неравенства тоже можно изобразить графически на числовой прямой. Для того, чтобы различать на рисунке строгие и нестрогие неравенства, придумали обозначать строгие незакрашенной (выколотой) точкой, а нестрогие при помощи закрашенной.

На рисунке \(10\) показано строгое неравенство \(x \gt 8\). На рисунке \(11\): нестрогое \(x \geq 8\). Обратите внимание на точку \(8\): в строгом неравенстве она выколотая, а в нестрогом закрашенная:

что значит x принадлежит R?

значит R -любое число
или
Ну это значит что R имеет х.

Не совсем любое число, без мнимых
Значит x принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс. Любые вещественные числа

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Квадрат числа в математике и программировании

В этой статье мы поговорим, что такое квадрат числа, как его найти, а также каким образом производятся подобные вычисления в программировании.

Квадратом Х называют произведение 2-х множителей, каждый из которых равен Х.

Обозначение квадрата осуществляется с помощью степени, то есть Х² читается «Х в квадрате».

Если говорить еще более простым языком, то квадратом можно назвать число, которое умножено само на себя. Таким образом, мы можем написать простейшую формулу вычисления Х 2 :

Почему вообще такое выражение называют квадратом X? Дело в том, что именно данной формулой выражают площадь квадрата, сторона которого равна X, то есть геометрически это значение можно представить в виде площади квадрата, имеющего целочисленную сторону.

Вывод тут прост: для решение поставленной задачи следует требуемое значение взять в качестве множителя дважды, а потом вычислить произведение. Соответственно:

10 2 = 10 ⋅ 10 = 100

Это все элементарно и проходится в начальных классах средней школы. Решить такой пример в математике не проблема, а когда числовые значения выходят за рамки классической таблицы умножения, используют таблицу, ускоряющую расчеты.

Квадрат числа в математике и программировании

Также описанную математическую операцию можно рассматривать в контексте частного случая возведения в степень — ведь именно этим, по сути, она и является — возведением в степень 2.

Интерес представляет и числовая последовательность для квадратов целых чисел, являющихся неотрицательными (речь идет о последовательности A000290 в OEIS):

Квадрат числа в математике и программировании

Нельзя не сказать и про график y=x², где представлены целые значения x на отрезке 1-25.

Квадрат числа в математике и программировании

Квадратные числа

Если же говорить о натуральных числах из последовательности, упомянутой выше, в историческом контексте, то их всегда называли «квадратными». Квадратное числовое значение также называют полным либо точным квадратом, то есть целым значением, квадратный корень из которого можно извлечь нацело. К примеру, найти корень из 9 несложно (√9 = 3, т. к. 3 ⋅ 3 = 9). Не составляет проблем и вычислить корень из ста: (√100 = 10, ведь десять на десять равно сто).

Квадрат числа в математике и программировании

Легко понять, что сто — это квадратное число, так как его можно записать в виде 10 ⋅ 10 , плюс оно может быть представлено, как было сказано выше, в качестве площади квадрата со стороной, равной десяти. Таким образом, можно сделать вывод, что квадратное число включено в категорию классических фигурных чисел, то есть чисел, которые мы можем представить в виде геометрических фигур. Но в эту тему углубляться пока не будем.

А что в программировании?

Теперь давайте посмотрим, как все это работает в программировании. Для примера возьмем такой язык программирования, как Java (кстати, статья о том, как выполнять возведение в степень в Java, уже была).

Напишем простой метод по возведению любых числовых значений в квадрат:

public class Main

static int square(int x)

public static void main(String[] args)

Вы можете воспользоваться любым онлайн-компилятором для проверки этого кода. Также никто не мешает вписать любое число вместо десяти.

Квадрат числа в математике и программировании

Теперь воспользуемся простейшей программой для того, чтобы найти квадратный корень из 100:

public class Main

public static void main(String args[])

System.out.printf(«sqrt(%.2f) = %.2f%n», x, Math.sqrt(x));

Программа позволяет извлекать корень и из неквадратных значений. Ниже мы находим корень из 167:

Квадрат числа в математике и программировании

Да, в современную эпоху калькуляторов мало кто считает в уме. Вдобавок ко всему, сегодня даже не надо покупать настоящий калькулятор, так как калькулятор есть в любом мобильном телефоне, не говоря уже об онлайн-калькуляторах, коих существует огромное количество. Однако это не значит, что можно забыть азы алгебры. Не зря же великий русский ученый Михаил Ломоносов когда-то сказал:

Квадрат числа в математике и программировании

  • https://calculator888.ru/tablitsa-kvadratov;
  • http://www.for6cl.uznateshe.ru/kvadrat-chisla/;
  • https:/ru.wikipedia.org/.

Метод интервалов

Решая уравнение, мы стремимся к тому, чтобы обе части были равны. Но существуют такие примеры, где мы заведомо знаем, что два выражения не могут быть равны между собой. Они называются неравенствами.

Метод интервалов

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение. В неравенствах обычно одна сторона больше другой.

Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ .

Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет.

Посмотрим на привычные ситуации с точки зрения строгости знаков неравенства.

Рассмотрим пример неравенства (х — 10)(х + 21) > 0.

Его можно решить несколькими способами. Например, вспомним, что положительным будет произведение двух положительных или двух отрицательных множителей, тогда получается совокупность из двух систем.

Однако этот способ решения очень трудоемкий и требует много времени. А если множителей будет больше, например, три или четыре, то время на решение в разы увеличивается.

Небольшой секрет тайм-менеджмента: как сократить время при решении неравенств? В таких случаях на помощь приходит метод интервалов.

Метод интервалов — специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.

Интервал — это промежуток на числовой прямой, ограниченный двумя различными числами.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1 шаг. Перенести все части неравенства в одну сторону так, чтобы с другой остался только 0.

2 шаг. Найти нули функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0.

3 шаг. Начертить числовую прямую и отметить на ней все полученные корни. Таким образом, числовая прямая разобьется на интервалы.

4 шаг. Определить знаки на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале.

Расставляя полученные корни на прямой, необходимо отмечать их точками. При этом от того, какая отмечена точка (выколотая или закрашенная), будет зависеть ответ.

  • Если в неравенстве стоит строгий знак неравенства, то все точки на прямой должны быть выколотыми.

Таким образом, граничные точки не будут включены в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют круглые скобочки. Например, в промежуток (2;3) включаются все значения от 2 до 3, но не включаются граничные точки.

  • Если в неравенстве стоит нестрогий знак неравенства, то найденные корни должны быть отмечены закрашенными точками.

Это означает, что мы включаем их в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют квадратные скобочки. Например, в промежуток [2;3] включаются все значения от 2 до 3, в том числе и граничные точки.

  • Если в неравенстве появляются ограничения и некоторые точки нельзя взять в ответ, то такие точки должны быть выколотыми на числовой прямой, при этом знак самого неравенства может быть как строгим, так и нестрогим.

Например, если необходимо решить неравенство с дробью, то нули знаменателя на числовой прямой обязательно должны быть обозначены выколотыми точками.

Стоит отметить, что непрерывная функция будет менять знак только в точках, в которых она равна 0. Подробнее узнать про смену знака функции можно в статье «Определение и график функции». Именно поэтому в методе интервалов мы ищем и отмечаем нули функции на прямой — только при переходе через них будет меняться знак функции.

При этом существует способ, с помощью которого можно быстро расставить знаки на прямой. Достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше чередовать знаки при переходе через каждую точку на прямой.

Правила чередования знаков:

  • Если корень повторяется нечетное количество раз (то есть его степень нечетная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.
  • Если корень повторяется четное количество раз (его степень четная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется.

Всегда будет нелишним перепроверить знак на каждом интервале, подставив значения в функцию, и убедиться в правильности расстановки знаков на прямой.

Методом интервалов можно решить практически любое неравенство в задании 14 из ЕГЭ по профильной математике, также он может понадобиться в заданиях 8, 11 и 17 «профиля» или в задании 17 ЕГЭ по базовой математике.

На ОГЭ данным методом можно воспользоваться при решении неравенств из первой и второй частей — №13 и №20.
Так что осваивайте метод и 2 балла ЕГЭ или 3 балла ОГЭ будут у вас в кармане. Обязательно следуйте алгоритму решения неравенств методом интервалов, тогда вы точно решите неравенство верно.

Практика

Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.

Пример 1. Решить неравенство x 2 + 8x — 33 > 0.

Шаг 1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x 2 + 8x — 33 = 0.

Шаг 2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11.

Шаг 3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:

Шаг 4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x 2 + 8x — 33. Получаем:

(-12) 2 + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15.

Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются.

В ответ необходимо записать промежутки с положительным знаком, следовательно, ответом будет х ∈ (-∞; -11) U (3; +∞).

1. Находим нули функции.

Нули числителя: 2х 2 + 22х — 204 = 0. Решая уравнение, получаем х = 6 и х = -17.

Нули знаменателя: (х — 3)(х + 5) = 0, следовательно, х = 3 и х = -5.

2. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Нули числителя будут обозначены закрашенными точками, поскольку знак неравенства нестрогий. А вот нули знаменателя — выколотыми, поскольку знаменатель не может равняться 0, следовательно, и нули знаменателя не должны входить в итоговый промежуток.

3. Определяем знак на крайнем левом промежутке, подставляя х=-20 в дробь:

Следовательно, промежуток положительный.

4. Поскольку каждый корень встречается один раз, то есть нечетное количество раз, то знаки будут чередоваться.

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки. Следовательно, ответом будет х ∈ [-17; -5) U (3; 6].

Пример 3. Решить неравенство \(\frac ≥ \frac\)

1. Первым делом следует отметить, что знаменатели не могут быть равны 0, следовательно, х 2 ≠ 0 и х + 2 ≠ 0, отсюда получаем х ≠ 0 и х ≠ -2.

2. Теперь перенесем все части неравенства влево:

Приведем к общему знаменателю:

Для решения неравенства будет удобнее, если перед х 2 в числителе будет стоять положительный знак, для этого умножим неравенство на -1.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Теперь найдем нули функции.

Нули числителя: х 2 — х — 2 = 0. Тогда х = -1 и х = 2.

Нули знаменателя: х = 0 и х = -2.

2. Расставим корни на числовой прямой, при этом нули числителя будут обозначены закрашенными точками, а нули знаменателя — выколотыми.

3. Определим знак на крайнем левом промежутке, подставив для этого х = -3 в дробь:

4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х 2 четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет.

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U [-1; 0) U (0; 2].

Давайте подведем итог. Для чего мы это изучили?

Конечно же, эти знания пригодятся на экзаменах, а также в решении школьных примеров с 8 класса по 11 класс.

Советуем после прочтения этой статьи попрактиковаться в рубрике «Проверь себя», чтобы закрепить полученные знания. После чего можете приступить к решению заданий посложнее, чтобы на экзамене у вас точно получилось решить подобные задания и набрать за них максимум баллов.

Фактчек

  • Метод интервалов позволяет упростить решение любого неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене.
  • Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала.
  • Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка.
  • Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию.
  • Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется.

Проверь себя

Задание 1.
Какие знаки неравенства существуют?

  1. Строгие
  2. Нестрогие
  3. Строгие и нестрогие
  4. Больше и меньше

Задание 2.
Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

  1. Только больше или меньше.
  2. Только “больше или равно” или “меньше или равно”.
  3. Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
  4. Любой.

Задание 3.
Какое утверждение верное?

  1. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
  2. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
  3. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
  4. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты.

Задание 4.
Какое утверждение верное?

  1. При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
  2. Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
  3. Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
  4. Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5.
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе?

  1. Круглые
  2. Квадратные
  3. И круглые, и квадратные
  4. Ни один из перечисленных вариантов

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *