Соединить точки в круге что не пересекались
Перейти к содержимому

Соединить точки в круге что не пересекались

  • автор:

Нужно соеденить одинаковые цифры линиями так, что бы они не пересекались. Загадка больше детская, н / загадка :: повтор :: вопрос

Нужно соеденить одинаковые цифры линиями так, что бы они не пересекались. Загадка больше детская, но все же задуматься на секундочку заставит. Р.Б. выходить за рамки нельзя,вопрос,загадка,повтор

Подробнее
Нужно соеденить одинаковые цифры линиями так, что бы они не пересекались. Загадка больше детская, но все же задуматься на секундочку заставит. Р.Б. выходить за рамки нельзя
вопрос,загадка,повтор

9 точек 4 линии

9 точек 4 линиии

Если вы попали на эту страницу, то вы наверняка уже пытались решить «тест 9 точек», а именно соединить девять точек четырьмя прямыми линиями не отрывая ручки от листа бумаги. Если у вас не получилось разгадать эту головоломку, не отчаивайтесь. На этой странице вы сможете найти несколько решений этой знаменитой непростой задачи о девяти точках, которые напрягли умы уже многих тысяч, если не миллионов людей.

Оглавление:

  • Условие задачи
  • Верное решение
  • Творческий подход к головоломке
  • Другие решения
  • Отзывы и комментарии

Условие задачи

Условие: нужно соединить нарисованные девять точек четырьмя прямыми линиями не отрывая ручки от листа бумаги. ОБНОВИТЬ РИСУНОК

Условие: нужно соединить нарисованные девять точек четырьмя прямыми линиями не отрывая ручки от листа бумаги.

Эта задача является не такой уж простой, как может показаться. Чтобы ее решить нужно думать нестандартно и применить свое творческое мышление, иначе ничего не получится. Если пытаться действовать в лоб начать соединять все точки стандартными линиями, то вы можете потратить уйму времени и так и не решить задачу девяти точек. Наше стандартное мышление, которому нас учат в школе, направляет нас искать решение, опираясь лишь на шесть типичных линий: 4 стороны квадрата и 2 его диагонали. Большинству людей кажется, что решение головоломки о 9 точках должно лежать именно в этих рамках. Но его там нет. Его даже не найти если подключить еще 2 линии между центрами сторон квадрата: 9 точек нет решенияВообще между всеми девятью точками можно провести всего 20 прямых линий: 4 стороны квадрата; 2 диагонали; 6 линий, соединяющих центры сторон большого квадрата; 8 линий соединяющих центры сторон большого квадрата с его углами. Как нарисовать все отрезки, соединяющие наши 9 точек, показано на рисунке ниже: 20 линий между девятью точкамиНо, даже используя эту схему, невозможно найти 4 линии, которыми можно было бы соединить все девять точек, не отрывая руки.

Верное решение «теста 9 точек»

  1. Через любые 2 точки можно провести только одну прямую линию.
  2. Прямая линия – это не отрезок и, следовательно, нам не обязательно ограничиваться при рисовании линий нашими девятью синими кружками.

Таким образом, давайте попробуем продолжить линии за пределы, ограничивающего нас до недавнего времени квадрата. Тут видно, что область нашего поиска значительно увеличилась. Потрудившись немного можно прийти к одному из правильных решений.

4 линии соединяют 9 точек

Последовательность соединений девяти точек четырьмя линиями:

  1. Для начала проведите линию, соединяющую точку №1 и точку №7, через точку №4. Не останавливайте движение и рисуйте дальше примерно столько, сколько от точки №4 до точки №7.
  2. Далее двигайтесь по диагонали направо-вверх, соединяя точки №8 и №6. Не останавливайтесь на точке №6 и продолжайте линию до мысленной прямой, проходящей через верхнюю сторону нашего квадрата.
  3. Нарисуйте линию справа налево последовательно через точки №3, №2 и №1. Остановитесь на точке №1.
  4. Теперь проведите финальный отрезок через точки №1, №5 и №9. Все 9 точек, и правда, соединены четырьмя линиями, как и требовалось в условии задачи.

Другие варианты. Этот способ не единственный, начинать можно от любого угла и двигаться одном из двух направлений. На сайте 4brain таких вариантов решения задачи «9 точек 4 линии» представлено минимум 12:

Четыре решения задачи 9 точек

Только подумайте, задача, которую многие никак не могут решить, имеет 12 способов решения. Также смотрите упрощенный вариант этой задачи: как соединить 4 точки тремя линиями, чтобы линии замыкались в целую фигуру.

Творческий подход в этой головоломке

Большинство людей, которые решали эту задачу, так и не смогли выбраться за рамки стандартного мышления, которое в данном тесте выражено квадратом, образованным девятью точками. Нам комфортно смотреть на любую жизненную задачу прямо, наиболее просто. С другой стороны, человек может потратить много времени и сил для того, чтобы, используя стандартный подход, найти верное решение, когда это решение лучше искать, изначально подойдя к процессу творчески.

В нашей жизни мы часто сталкиваемся с такими задачами о «девяти точках и четырех линиях», и для того, чтобы их решать развивайте свое креативное мышление, в том числе и при помощи нашего тренинга. Ведь задача о 9 точках имеет и другие решения (об этом читайте дальше).

Другие способы решения

Изменив наш фрейм или применив латеральный разрыв можно найти и другие варианты решения этой задачи. Например, метод гиперболизации при создании латерального разрыва может нас привести к мысли, что никто не уточняет, что в задаче должны применяться стандартные условия геометрии (о бесконечной малости точек и бесконечной тонкости линий). Пусть наша линия будет настолько широкой, что сможет сразу пересекать несколько точек по своей ширине. Тогда мы не то что 4-мя линиями сможем соединить все 9 точек, а даже одной.

Кроме того, даже в нашем изображении 4-х точек, которое дано в нашем условии головоломки о 9 точках, сами точки-кружки достаточно большие, чтобы можно было их соединить 3-мя линиями вот так:

9 точек соединить 3 линиями не отрывая руки

А может вообще не стоит ограничиваться двухмерным пространством или использовать концепцию искривления пространства. Также мы можем акцентировать внимание на фразу «не отрывая ручки от листа бумаги», и просто положив ручку на бок передвинуть ее и таким образом нарисовать просто 3 параллельных линии.

Задача про красные и синие точки

Недавно друзья задали мне задачу по дискретной математике. Задача так сильно понравилась, что я решил поделиться ей с широким кругом, а также рассказать свое решение и предложенное авторами задачи.

Текст задачи

Дана плоскость. На ней расположены n красных и n синих точек, причем никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что всегда можно соединить точки попарно непересекающимися отрезками так, что каждая красная точка соединена отрезком с синей и каждая синяя точка соединена отрезком с красной.

Предлагаю не переходить к разбору сразу, а остановиться и подумать. Ниже дана подсказка для самоконтроля, что условие правильно понято.

Подсказка для самоконтроля

Очевидно, что отрезков должно быть ровно n штук.

В самом деле, у нас n красных точек. На каждую красную точку требуется хотя бы один отрезок, поэтому отрезков должно быть хотя бы n.

При этом никакую точку не получится соединить больше чем с одной другой, т.к. в противном случае точка будет лежать на двух различных отрезках, а значит, технически будет являться точкой их пересечения, что запрещено. Следовательно, всего n отрезков.

Мое решение

Докажем по индукции. База — пустое множество точек. Идея перехода в том, чтобы свести задачу размера n к задачам размера меньше n.

Рассмотрим границу выпуклой оболочки множества всех точек (представьте, что мы натянули канцелярскую резинку на точки так, что они оказались внутри, часть точек попали на границу). Заметим, что получился многоугольник, в углах которого лежат точки. Причем точки могут лежать только в его углах, т.к. по условию никакие три точки не лежат на одной прямой.

Пример выпуклой оболочки для произвольного множества точек

Заметим, что если на границе получившегося многоугольника хотя бы две точки имеют разный цвет, то найдутся две соседние точки разных цветов. Найдем две такие точки, соединим отрезком. Теперь все остальные точки оказались в одной из полуплоскостей относительно прямой, на которой лежит наш отрезок, а значит никакие другие возможные отрезки с ним не пересекутся, т.е. можно «удалить» данную пару точек и перейти к задаче размера n — 1.

Так можно делать до тех пор, пока на границе выпуклой оболочки лежат хотя бы две точки разных цветов. Отдельно рассмотрим случай, когда все точки на границе имеют один цвет.

Не умаляя общности предположим, что все точки на границе оказались синими. Поскольку множество точек конечно, конечно и множество прямых, на которых лежат хотя бы две точки. Следовательно конечно и множество углов наклонов этих прямых. А значит, можно выбрать новый угол наклона, такой что никакие две точки не лежат на прямой с таким углом. Построим прямую с этим самым углом и начнем ее двигать (для определенности — слева на право). Тогда все точки сначала окажутся в правой полуплоскости относительно прямой, затем их количество будет изменяться по мере пересечения прямой с точками, и в конце — все точки окажутся слева.

Заметим, что самая левая и самая правя точки принадлежат границе выпуклой оболочки, а значит — они одного цвета!

Движение прямой от левой точки к правой (прямая могла бы и не быть вертикальной)

Будем считать количество синих и красных точек слева от прямой: red_cnt(x) и blue_cnt(x). Изначально red_cnt(x) = blue_cnt(x) = 0. Затем прямая пересекает первую синюю точку и тогда red_cnt(x) = 0, blue_cnt(x) = 1. По мере продвижения прямой вправо эти числа растут (каждый раз одно из чисел увеличивается на 1). В конце будет добавлена последняя синяя точка и числа достигнут n (red_cnt(x) = blue_cnt(x) = n). Это значит, что прежде чем последняя синяя точка была добавлена значения были red_cnt(x) = n, blue_cnt(x) = n — 1. Т.е. мы имеем две функции, причем blue_cnt начала расти раньше, но достигла n позже чем red_cnt. А значит — эти функции принимают одинаковое значение где-то между началом левой и правой точкой: red_cnt(x) = blue_cnt(x). Иными словами, существует прямая, которая делит плоскость на две непустые полуплоскости, в каждой из которых равное количество синих и красных точек! А значит, мы свели задачу размера n к двум задачам меньшего размера. Ч.т.д.

Решение авторов задачи

Построим n отрезков, концы которых соединяют точки разных цветов (не обязательно без пересечений). Строить можно так: пока есть точки не соединенные отрезком, будем брать пару «свободных» точек и соединять их.

Теперь рассмотрим любую пару отрезков, которые имеют пересечение (см. рисунок). Удалим два отрезка с пересечением и построим два новых отрезка без пересечений. Заметим, что в силу неравенства треугольника, каждый раз выполняя такое действие, мы уменьшаем суммарную длину всех имеющихся отрезков. Поскольку количество способов соединить отрезки конечно и каждый раз мы переходим от одного способа к другому, уменьшая суммарную длину, то данный процесс должен будет однажды остановиться. В этот момент у нас не окажется больше пересечений, следовательно мы всегда получим искомое построение. Ч.т.д.

Переход от пересечения пары отрезков с уменьшением суммарной длины

Заключение

Особенность второго решения в том, что мы ввели некоторый числовой параметр, которым охарактеризовали построение и научились делать действия, приводящие к его уменьшению. Лично мне оно напомнило задачу с двадцатью картами из моего любимого фильма X+Y (см. отрывок на англ.), таким образом нашло отклик в моей душе. Однако, если бы я сразу подсмотрел его, то ни за что не придумал бы своего.

Благодарности

Спасибо авторам Ace Your Next Coding Interview, благодаря которым я узнал о данной задаче.

Также отдельное спасибо Виктору Крыштаповичу и Артему Грачеву, которые слушали мой поток сознания.

Как соединить 9 точек четырьмя прямыми линиями?

Как соединить 9 точек четырьмя прямыми линиями?

Многие любят свободное время потратить на просмотры фильмов, лежание на диване, творчество. А кто-то предпочитает развивать смекалку и логические способности. На сегодняшний день существует огромное количество увлекательных и эффективных способов зарядки для ума – это решение кроссвордов, головоломок и логических задачек.

Среди них очень популярна игра «9 точек 4 линии». Наверняка, вы уже слышали о ней. Вы можете попробовать решить ее сначала самостоятельно. Но если ваши попытки не увенчались успехом, а интрига осталась, мы откроем секретные пути решения головоломки!

Условие задачи: все не так просто, как может показаться на первый взгляд

как соединить 9 точек 4 линиями

На листе нарисованы 9 точек, расположенных в виде квадрата. Задача на первый взгляд проста – соединить все точки, используя всего четыре линии. Но при этом есть важный нюанс: при проведении линий карандаш не должен отрываться от листа. Также существуют некоторые ограничения, которых нужно придерживаться:

  • все линии должны быть прямыми;
  • линии не должны повторяться и возвращаться по уже прорисованному маршруту.

Реально ли это? Чтобы правильно решить задачку, нужно подключить нестандартный, можно сказать, творческий подход, в противном случае вряд ли у вас что-то выйдет.

Способы решения: а есть ли они?

Всем понятно, что у квадрата есть четыре стороны и две диагонали. Именно на эту информацию чаще всего обращают внимание решающие и делают это зря, так как только запутывают себя. Между 9 точками можно провести ровно двадцать линий, из которых:

  • две диагонали;
  • четыре границы квадрата;
  • шесть линий, которые соединяют центры сторон основного квадрата;
  • восемь линий, которые соединяют центры сторон основного квадрата с его углами.

Для решения этой головоломки нужно вспомнить два правила:

  • Если есть две точки, через них проводится только 1 линия.
  • Прямая линия не имеет начала и конца, поэтому при решении задачи не нужно ограничиваться только девятью установленными точками.

Итак, один из самых распространенных вариантов решения:

  1. Начинаем рисовать первую линию: проводим ее через цифры 1, 4 и 7 вниз по вертикали. Здесь же не отрывая руки, в голове представляем, что под семеркой есть еще одна цифра и доводим линию до нее, выходя за рамки квадратного полотна.
  2. После того, как линия была продолжена, двигаемся по диагонали в правую сторону наверх, соединяя точки 8 и 6. Здесь мы тоже не останавливаемся и продолжаем рисовать линию, которая остановится напротив цифры 3.
  3. Как только точка установлена, рисуем прямую справа налево, соединяя точки 3, 2 и 1. Останавливаемся на единице.
  4. Далее дело за малым: проводим завершающую четвертую линию через точку 1, 5 и 9.

9 точек 4 линии

Неужели все получилось? Да. Правила головоломки не были нарушены: вы провели 4 прямые линии через 9 точек. Да, вы зашли за рамки предположительного квадрата, но никто не запрещал этого. Вы можете начинать с любого угла и, если действовать по тому же принципу, у вас все получится.

как провести через 9 точек 4 линии

Другие способы решения: ищем нестандартный подход

Благодаря тем, кто подошел к решению данной загадки творчески, мы имеем более 12 вариантов решения этой головоломки, и все они выходят за рамки стандартного мышления.

К слову, не было детальных уточнений о том, что в задаче нужно применять только привычные всем геометрические правила. Таким образом, кто-то придет к выводу, что одна линия может быть настолько широкой, что заденет все 9 точек. И это будет также правильной разгадкой, хоть и максимально нестандартной.

Честно говоря, иногда сложно представить, как человек может додумываться до некоторых идей. Например: одному из тех, кто пытался разгадать задачу, удалось соединить 9 точек при помощи 3 линий. Как он это сделал? Провел три линии в виде знака молнии через каждые три точки по горизонтали – и вуаля, решение нестандартное, но верное.

В условии также написано, что «проводить линии следует, не отрывая ручку от листа», поэтому некоторые хитрецы умудрялись положить ручку на бок и передвигали ее таким образом, что получилось провести три параллельных линии, соблюдая все правила.

А на что способно ваше мышление, чтобы решить эту головоломку нестандартным путем?

blogArticleAd-image

blogArticleAd-image

Математика и логика для детей 7-13 лет

Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *