Как найти последнюю цифру числа в степени
Перейти к содержимому

Как найти последнюю цифру числа в степени

  • автор:

Как найти последнюю цифру числа в степени

Полезно запомнить следующее правило: последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения последних цифр сомножителей. В частности, последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей.

а) Начнём выписывать последние цифры степеней двойки. На каждом шаге будем умножать результат предыдущего шага на 2 и, если получается двузначное число, брать его последнюю цифру. Получим: 2 1 = 2, 2 4 =4, 2 3 =8, 2 4 = 16 → 6, 2 5 → 6·2 = 12 → 2, 2 6 → 2· 2 = 4, 2 7 → 4· 2 = 8, 2 8 → 8· 2 = 16 → 6, и т. д. Заметим, что последние цифры чередуются в такой последовательности: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6. При этом последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 без остатка (как 4, 8, 100), последняя цифра степени равна 6.

б) Последняя цифра числа 549 49 совпадает с последней цифрой числа 9 49 . Последние цифры степеней девятки чередуются так: 9, 1, 9, 1, 9, 1. То есть если показатель степени нечётный, степень оканчивается на 9. Значит, и число 9 49 , и исходное число 549 49 оканчиваются на 9.

в) Последняя цифра числа 2013 2013 совпадает с последней цифрой числа 3 2013 . Последние цифры степеней тройки чередуются так: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. То есть последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как 1, 5, 2013), последняя цифра степени равна 3. А значит, и последняя цифра числа 2013 2013 равна 3.

2. В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (23021 337 − 1). Не опечатка ли это?

Решение. Число 23021 337 оканчивается единицей (это проверяется аналогично решению задачи 1). Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.

3. В магазин привезли 206 литров молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов каждого вида?

Ответ. Семь десятилитровых и восемь семнадцатилитровых.

Решение. Нужно взять несколько слагаемых по 10 л и несколько слагаемых по 17 л так, чтобы сумма была равна 206 л (в частности, чтобы последняя цифра суммы равнялась 6). Количество десятилитровых бидонов не влияет на последнюю цифру суммы. Значит, надо только выяснить, сколько должно быть 17-литровых бидонов, чтобы их суммарный объём оканчивался цифрой 6. Для этого количество 17-литровых бидонов должно оканчиваться на 8 (проверьте, что это правда и что другие варианты не подходят). То есть 17-литровых бидонов может быть 8, 18, 28, и т.д. Но если их хотя бы 18, то их общий объём составляет по крайней мере 18·17 = 306 л, что больше, чем 206 л. Значит, 17-литровых бидонов будет 8, и их общий объём будет равен 136 л. Тогда десятилитровые бидоны должны иметь общий объем 70 л, а для этого их должно быть 7.

4. Делится ли число 47 30 +39 50 на 10?

Решение. Число 47 30 оканчивается цифрой 9, а число 39 50 — цифрой 1 (это проверяется аналогично решению задачи 1). Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.

5. Найдите последнюю цифру в произведении всех нечётных чисел от 1 до 2013.

Решение. Это произведение делится на 5, но не делится на 2. Поэтому в силу признаков делимости на 2 и 5 оно может оканчиваться только цифрой 5.

6. Сколькими нулями оканчивается число 2013! = 1·2·3·. ·2011·2012·2013 ?

Если мы разложим число 2013! на простые множители, то количество нулей на конце этого числа будет равно степени, в которой в это разложение входит пятёрка. (В самом деле, 10 = 2·5, а двойка заведомо войдёт в разложение в большей степени, чем пятёрка.)

2013 = 5·402 + 3. Поэтому среди чисел от 1 до 2013 ровно 402 числа делятся на 5. Аналогичным образом выясним, что из этих чисел ещё 80 делятся на 25, то есть на 5 2 , ещё 16 делятся на 125, то есть на 5 3 , и ещё 3 числа делятся на 625, то есть на 5 4 . Итого 402+80+16+3 = 501, то есть в разложение числа 2013! пятёрка входит в степени 501. Поэтому 2013! оканчивается 501 нулём.

7. Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10.

Решение. Квадрат любого натурального числа оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (проверяем для чисел от 1 до 10, дальше последние цифры повторяются в той же последовательности). Если в наборе есть два квадрата, оканчивающиеся на две одинаковые цифры, при их вычитании получится число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10. Если же все пять последних цифр квадратов в наборе различны, то среди них обязательно будет либо пара (4, 6), либо пара (1, 9). Тогда сложим эти квадраты и тоже получим число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10.

8. Найдите последнюю цифру числа 7 7 7 . Степени считаются сверху вниз: 7 7 7 =7 (7 7 ) .

Решение. Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3.

9. На доске было написано число из нескольких семёрок: 777. 77. Влад стёр у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на 3 и к произведению прибавил стёртую цифру. С полученным числом он проделал ту же операцию, и так далее. Докажите, что через некоторое время у него получится число 7.

Решение. При каждой операции из числа 10 х + у получается число 3 х + у (здесь y — последняя цифра исходного числа). Разность этих чисел равна 10 x + y − (3 x + y ) = 7 х и значит, делится на 7. Значит, при каждом шаге делимость числа на 7 сохраняется (исходное число, очевидно, делилось на 7), а само число уменьшается. Поскольку операцию можно проделывать с любым натуральным числом, в котором больше одной цифры, мы рано или поздно получим однозначное число, кратное 7.

  • ЗАДАЧИ
  • 6 класс
  • Письменная работа
  • Задачи для знакомства
  • Ацнок с зиланА
  • Чётность
  • Делимость
  • В триодиннадцатом королевстве
  • Алгоритмы
  • Математические игры
  • Движение и работа
  • Геометрия
  • Комбинаторика
  • Комбинаторика — 2
  • Задачи на повторение
  • Математическая абака
  • География и путешествия
  • Признаки делимости
  • Последовательности
  • От противного
  • Графы
  • Шахматы
  • Раскраски
  • Последняя цифра
  • Оценка плюс пример
  • Лингвистика
  • История математики
  • ЗАДАЧИ ДОП. НАБОРОВ
  • Доп. набор 1
  • Доп. набор 2

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!


Как найти последнюю цифру числа в числе 2^1047 ^ -обозначение степени

Это закономерность.
2^1 — заканчивается на 2
2^2 — на 4
2^3 — на 8
2^4 — на 6
2^5 — на 2
2^6 — на 4
и так далее. Цикл — 4. 1047\4=261*4+3. Остаток 3, поэтому оканчивается на 8
Удачи) ) Кажется, здесь всё верно)))

Игорь УшаковМастер (1826) 14 лет назад
почему цикл 4?
Марина Тесленко Просветленный (22068) 2-4-8-6 Четыре различные цифры, а потом всё заново))
Игорь УшаковМастер (1826) 14 лет назад
спасибо большое за помоЩЬ. я выберу ваш ответл лучшим)
Карло ПаблоПрофи (713) 4 года назад
Вопрос. А если остаток будет двузначным числом?
Остальные ответы

Можно легко заметить что последняя цифра повторяется!
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
и т. д.
надо поделить твое число на 4 и взять остаток!
1047 % 4 = 3
% — остаток от деления.
т. е. твое число 8

Игорь УшаковМастер (1826) 14 лет назад

надо поделить твое число на 4 и взять остаток!
т.е. твое число 8

как ты додумался что именно на 4??
и как ты понял что 8 то,что мне нужно.

Рустам Габитов Ученик (201) Тебе не понятно, ответ не правильный или сомнительный? 🙂

Итого последняя цифра 8.
Надеюсь нигде не ошибся

Последние цифры степеней

Цырежу Нимаевна Будобазарова

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели и задачи исследования.

Цель работы: построить алгоритм нахождения последней цифры числа.

Задачи:

  • изучить литературу по данной теме;
  • построить таблицу последних цифр различных степеней;
  • выявить закономерность изменения последней цифры степени натурального числа;
  • применить данные закономерности при решении задач.

Метод исследования: теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический.

В ходе исследования я выявила закономерности изменения последней цифры степени натурального числа, а также применила данные закономерности при решении задач. При применении данных закономерностей возникают расширенные возможности для решения алгебраических задач. Данная работа будет полезна как для проведения дополнительных занятий по математике, для более глубокого изучения алгебры, а также для подготовки к олимпиадам по математике, подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5-7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой.

Результат моего исследования: выявлены закономерности изменения последней цифры степени натурального числа.

Скачать:

Вложение Размер
Файлposlednie_tsifry_stepeneyokon.docx 79.35 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Последние цифры степеней

Автор: Будабазарова Суржана,

ученица 9А класса

Будобазарова Ц. Н.,

Цели и задачи исследования

1. Последние цифры степеней

1.2.Последняя цифра степени

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа

1.4.Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

2. Практическая часть

Алгебру называют нередко «арифметикой семи действий», с четырьмя математическими операциями мы знакомы ещё с начальной школы, в 5 классе познакомились с пятым действием: возведение в степень. Вызвана ли потребность в этом новом действии практической жизнью? Безусловно. Мы очень часто сталкиваемся с ним в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени. Например: глава VI, учебник «Геометрия», Л. С. Атанасян. Можно встретить задания, содержащие степени числа в ОГЭ, в олимпиадных заданиях, заданиях «Кенгуру».

При решении примеров и задач не всегда под рукой находятся таблица квадратов, таблицы степеней. Тем более степени с большими показателями.

Например такая задача.

Надо найти последнюю цифру суммы 2011 2019 + 2012 2019 + 2013 2019 +2014 2019 +…+ 2019 2019 . Я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления. Мне стало интересно, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели и задачи исследования.

Цель работы: построить алгоритм нахождения последней цифры числа.

  • изучить литературу по данной теме;
  • построить таблицу последних цифр различных степеней;
  • выявить закономерность изменения последней цифры степени натурального числа ;
  • применить данные закономерности при решении задач.

Метод исследования: теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический.

1. Теоретическая часть

Сумму одинаковых слагаемых обычно записывают короче и называют произведением: а + а + а + а = 4а.

Произведение одинаковых множителей также записывают короче и называют степенью: а ⋅ а ⋅ а ⋅ а = а 4 .

Читают: « а в степени 4» (или просто « а в четвертой»). При этом число а, называют основанием степени, а число 4 – показателем степени.

Степенью числа а с натуральным показателем n ( n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен а : а . а . а . . а=а n .

1.2.Последняя цифра степени

Проведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2 n , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n .

В самом деле, возьмем число 2 100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2 4 , 2 8 , 2 12 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2 22 , если проверить, просто посчитав, используя калькулятор, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2, т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа

Я решила заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во — второй строке — цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.

Я заполнила пятую строку, затем шестую и увидела, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.

Итак, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения таблицы я получила следующие закономерности изменения последней цифры степени натурального числа :

  • Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
  • Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
  • В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
  • В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
  • В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
  • В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные — цифрой 6.

Тогда возник вопрос, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.

1.4. Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 нацело.

Вывод: если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6.

Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 с остатком, равным 1.

Вывод: если остаток равен 1 , то последняя цифра будет равна последней цифре основания степени.

Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степени делятся на 4 с остатком, равным 2.

Вывод: : если остаток равен 2, то последняя цифра будет равна квадрату последней цифре в записи основания степени.

Найдем последнюю цифру степеней где показатели степени делятся на 4 с остатком, равным 3.

Вывод: если остаток равен 3 , то последняя цифра будет равна кубу последней цифре в записи основания степени.

Итак, мы получили алгоритм нахождения последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, надо:

Найти остаток от деления показателя степени на 4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.

2. Практическая часть.

Я хочу предложить вам задать мне примеры, содержащие степень любого числа. а я найду последнюю цифру данного числа.

показать на презентации (Без решения)

А теперь, я хочу предложить вам решить некоторые из задач составленных мною.

Задачи, составленные мною

1. Найти последнюю цифру числа 8 2016 ; 8 2017 ; 8 2018 ; 8 2019 .

2016:4=504 (остаток 0)

Следовательно, т. к. последняя цифра основания четная искомая цифра равна 6.

2017:4=504 (остаток 1)

Следовательно, последняя цифра равна последней цифре основания степени, т.е. 8.

2018:4=504 (остаток 2)

Следовательно, последняя цифра равна квадрату последней цифры в записи квадрата основания степени, т.е. 8²=4.

2019:4=504 (остаток 3)

Следовательно, последняя цифра равна квадрату последней цифры в записи куба основания степени, т.е. 8 3 =2.

2. Какой цифрой оканчивается число ?

Следовательно, последняя цифра числа — 1.

Следовательно, последняя цифра числа — 6.

Следовательно, последняя цифра числа — 3.

Получаем, 1+6+3=10. Итак, последняя цифра числа 0.

3. Доказать, что число не делится нацело на 15.

Решение: Т.к. 15=5·3, то данное число должно делиться на 5 и на 3. Выясним, делится ли оно на 5. Для этого, число должно оканчиваться цифрой 5 или 0.

2016:4=504 (остаток 0).

Тогда, оканчивается цифрой 1, оканчивается цифрой 6, оканчивается цифрой 5. Получаем 1+6+5=12. Следовательно, число оканчивается цифрой 2, а значит, оно не делится на 15.

4.Найдите последнюю цифру суммы 2011 2019 + 2012 2019 + 2013 2019 +2014 2019 +…+ 2019 2019 .

2019:4=504 (остаток 3).

Тогда 2011 2019 оканчивается цифрой 1, 2012 2019 — 8, 2013 2019 — 7, 2014 2019 — 4, 2015 2019 — 5, 2016 2019 — 6, 2017 2019 — 3, 2018 2019 — 2, 2019 2019 — 9.

Получаем: 1+8+7+4+5+6+3+2+9=45. Следовательно, 2011 2019 + 2012 2019 + 2013 2019 +2014 2019 +…+ 2019 2019 оканчивается цифрой 5.

5. Какой цифрой оканчивается число ((9999 999 ) 99 ) 9 .

Решение: ((999 999 ) 99 ) 9 оканчивается на 9, т.к. степень нечетная.

6. Найти последнюю цифру числа 19 79 -18 79 .

В ходе исследования я выявила закономерности изменения последней цифры степени натурального числа, а также применила данные закономерности при решении задач. При применении данных закономерностей возникают расширенные возможности для решения алгебраических задач. Данная работа будет полезна как для проведения дополнительных занятий по математике, для более глубокого изучения алгебры, а также для подготовки к олимпиадам по математике, подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5-7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой.

Результат моего исследования: выявлены закономерности изменения последней цифры степени натурального числа.

  1. Р.И.Довбыш, Л.Л.Потемкина Математические олимпиады: 906 самых интересных задач – Ростов н/Д: Феникс: издательский центр «Кредо», 2006
  2. Задания конкурса «Кенгуру», 2012-2014г.
  3. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. М., Издательский дом ОНИКС, 2000.
  4. Перельман Я.И. Занимательная алгебра, М., Издательство технико-теоретической литературы, 1955.
  5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы — М.: Просвещение, 1990
  6. intelmath.narod.ru/article_minmds.html

Как найти последнюю цифру числа в степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

«Математику уже затем учить следует,

что она ум в порядок приводит»

Эти слова раскрывают сущность предмета математика, так как именно она, прежде всего, учит нас мыслить, рассуждать, анализировать, делать выводы, умозаключения и подводить итоги. Математика является одним из основных школьных предметов, потому, что все перечисленные качества необходимы не только математику, но и представителю любой другой науки. Развитием этих качеств занимается, прежде всего, математика. Существуют специальные задачи, которые направлены на формирование названных умений. Готовясь к различным математическим конкурсам, мы столкнулись с таким заданием « Какой будет последняя цифра числа ?» На первый взгляд эта задача может показаться достаточно сложной и я принялся за вычисления…

В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра любого натурального числа в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Составить опорную таблицу «Последние цифры степени», найти закономерности в них, научится вычислять последние цифры степеней.

Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач, отработки навыков устного счета.

2. Последняя цифра степени

Выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа , где N , n – натуральные числа, с изменением показателя n. Для этого составим таблицу:

Для наглядности составим таблицу, где будут записаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:

Заполняя столбики получаем такой результат: пятая и девятая и т. д. степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; шестая, десятая, четырнадцатая степень и т. д степень оканчивается той же цифрой, что и вторая степень числа; седьмая степень числа будет оканчиваться той же цифрой, что и третья степень числа.

3. Закономерности возведения в степень

Результаты в таблице повторяются через каждые четыре столбца.

Про числа 1 и 10 писать не будем, т.к. результат всегда будет 1 или 0 соответственно.

Любая степень чисел 5 и 6 оканчивается соответственно на 5 и на 6.

Последние цифры степеней чисел 4 и 9 повторяются через каждые два шага, при возведении в четную степень последняя цифра не меняется, будет соответственно 4 или 9, при возведении в нечетную степень изменится на 6 или 1 соответственно.

Квадрат любого натурального числа может оканчиваться на 0, 1,4, 5, 6 и 9,

Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой

Используя полученные результаты попробуем найти последние цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

Если остаток равен 0 и основание нечетное, то число будет оканчиваться на 1(кроме чисел оканчивающихся на цифру 5), если основание четное (кроме круглых чисел), то числа будут оканчиваться на цифру 6.

Теперь будем подбирать такие числа, что при делении показателя степени на 4 будут давать остатки 1, 2, 3

45:4=11 (остаток 1)

102:4=25 (остаток 2)

Если остаток равен 1, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи основания степени;

Если остаток равен 2, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

Если остаток равен 3, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи куба основания.

Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.

Последние цифры степеней чисел 2 , 12, 22 и т. д. (3, 13, 23 и т.д.) и т. д. будут совпадать.

4. Последние две цифры степени

Мы видим, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться, а как будет обстоять дело с 2-мя и 3-мя последними цифрами ? Вероятно, они тоже будут повторяться. Для наглядности составим таблицу, где будут записаны две цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:

Глядя на таблицу, замечаем что последние две цифры тоже повторяются, только период повторения увеличивается, кроме того у некоторых чисел 1-е не входит в период, так например:

Но начиная с 21 степени по 40 последние две цифры будут повторяться.

Последние цифры чисел 3,13 и 8 тоже будут повторятся с периодом 20, но последние две цифры чисел 3 и 13 совпадать не будут, не будут совпадать последние две цифры для степеней чисел 4 и 14 и т.д.

Последние цифры чисел 4 и 9 будут повторяться с периодом 10,последние цифры числа 6 будут повторятся с периодом 5, но число 6 не входит в период, последние цифры числа 7 будут повторятся с периодом – 4. Любая степень числа 5 (начиная со 2 –ой) и 25 будет оканчиваться на 25, а число 15 в четной степени будет оканчиваться на 25, а в нечетной на 75. Период чисел 11, тоже будет равен 10, но здесь есть еще одна закономерность:

Для числа 11 в степени – число десятков будет равно показателю степени

Для числа 21 – период равен 4, а число десятков будет равно числу, полученному , если число 2 умножить на показатель степени

5. Заключение

Определить последнюю цифру степени числа не сложно, мы легко составили алгоритм, для двух последних цифр степени числа такой алгоритм уже не составишь, закономерности есть , но их меньше. Считаю, что таблицу с тремя последними цифрами составлять не имеет смысла – не рационально.

Мы провели большую работу: составили таблицы для последней и двух последних цифр степеней и получили интересные с нашей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях.

6. Задачи

  1. Определите последнюю цифру в записи числа (ответ 8)
  2. Найдите последнюю цифру числа 2017 в степени 4207.(ответ 3)
  3. Найдите последнюю цифру числа 12^39+13^41 .

(8+3=11, последняя цифра 1)

  1. Найдите последнюю цифру суммы степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951995.

(6+2+2+8+8=26 последняя цифра 6)

  1. В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (− 1). Не опечатка ли это?

(опечатка. Число 23021 337 оканчивается единицей Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.)

  1. Делится ли число+ на 10 ?

(Число 4730 оканчивается цифрой 9, а число 3950 — цифрой 1 Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)

  1. Найдите последнюю цифру числа . Степени считаются сверху вниз: =

Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3).

  1. Найдите 2 последние цифры числа 8 1989 .

В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, (1989:20=99 остаток 9 , число 8 в 9 степени оканчивается цифрами 28, последние 2 цифры числа 8 1989 – 28).

  1. На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?

(Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 — жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий, перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым).

  1. Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?

(У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12… 102938475 — (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов, через 102938475 часы будут показывать 13:00).

11. Доказать, что число кратно 2.

12. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).

13. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом (натуральном) n. 14. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?

7. Использованная литература

1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.

2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.

3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) Оформление С. Григорьева — СПб.: Лань, МИК, 1996.- 125с.

4. Л.М.Лоповок 1000 проблемных задач по математике. Книга для учащихся Москва : Просвещение, 1995

5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы — М.: Просвещение, 1990.- 224 с.: ил.

6. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).

7. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. — 2-е изд.-М.: Просвещение, 1995.- 22с.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *